Caso 1 - Factor común

Cuando se tiene una expresión de dos o más términos algebraicos y si se presenta algún término común, entonces se puede sacar este término como factor común.

Ejemplo:

3x + 3y = 3(x + y) R//

Explicación:

Observamos claramente que el 3 está multiplicando con cada termino, este número es el factor común.

El binomio que queda después de que el tres abandona cada termino.

En el primer término sale el tres nos queda x.

En el segundo término sale el tres nos queda y.

Y así obtenemos este binomio con el caso llamado con el caso factor común.

 

Caso 2 – Factor Común por agrupación de términos

En una expresión de dos, cuatro, seis o un número par de términos es posible asociar por medio de paréntesis de dos en dos o de tres en tres o de cuatro en cuatro de acuerdo al número de términos de la expresión original. Se debe dar que cada uno de estos paréntesis que contiene dos, o tres o más términos se le pueda sacar un factor común y se debe dar que lo que queda en los paréntesis sea lo mismo para todos los paréntesis o el factor común de todos los paréntesis sea el mismo y este será el factor común.

Ejemplo:

2ac – 5bd – 2a +2ad – 5b – 5bc= 2ac – 2a + 2ad – 5bc + 5b – 5bd

= (2ac – 2a + 2ad) – (5bc - 5b + 5bd) =2a (c – 1 + d) -5b (c -1 + d)

= (2a – 5b) (c – 1 + d) R//

Explicación:

-Observamos el ejercicios en este caso tenemos un polinomio de 6 términos.

-Ver cuantos términos con coeficiente iguales hay para poder ordenarlo.

- Una vez ordenado pasamos a agrupar los términos entre paréntesis

- una vez agrupar sacamos factor común de cada termino

- nos quedara un binomio y luego agrupamos y así nos quedara factorizado nuestro ejercicios.  

 

Caso 3 - Trinomio cuadrado perfecto

 

Una expresión se denomina trinomio cuadrado perfecto cuando consta de tres términos donde el primero y tercer términos son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.
Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado se eleva al cuadrado.

Ejemplo: 

 

Caso 4 – Diferencia de cuadrados perfectos 

Dos cuadrados que se están restando es una diferencia de cuadrados. Para factorizar esta expresión se extrae la raíz cuadrada de los dos términos y se multiplica la resta de los dos términos por la suma de los dos

Ejemplo:

16² - 25y⁴= (4x – 5y²) (4x + 5y²) R//

 

Caso 5 - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados perfectos, el primer y tercer término tienen raíz cuadrada perfecta pero el término de la mitad no es el doble producto de las dos raíces. Se debe saber cuánto debe ser el doble producto y la cantidad que falte para cuadrar el término de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo, de tal forma se armara un trinomio cuadrado y factorizado unido con el último término tendremos una diferencia de cuadrados.

Ejemplo:
1) Factorar a^4+a^2+1 =

>  Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto:

Raíz cuadrada de a^4 = a^2     ;   raíz cuadrada de 1 = 1

El 2º término debe ser: 2(a^2)(1) =  2a^2

>  Comparando los 2ºs términos:  2a^2 – a^2 = a^2  <–lo que falta.

>  Convirtiendo a cuadrado perfecto (sumando lo que falta al 2º término y restando la diferencia que falta al trinomio dado):

a^4  +  a^2  + 1

.      +  a^2        -a^2

—————————–

a^4 +2a^2 + 1 -a^2  =  (a^4 +2a^2 +1) – a^2

 

Caso 6 - Trinomio de la forma x² + bx + c

Esta clase de trinomio se caracteriza por lo siguiente:

El primer término tiene como coeficiente 1 y la variable esta al cuadrado.
El segundo término tiene coeficiente entero de cualquier valor y signo y la misma variable.
El tercer término es independiente (no contiene la variable).

Ejemplo:

 (x + 3) (x + 2) R//

Explicación:

-Observamos el ejercicio y abrimos dos paréntesis y ponemos la x en el primer paréntesis y la otra x en el segundo paréntesis.

-Luego colocamos el signo que separa al ejercicio y en el segundo paréntesis la suma de los dos signos.

-Luego en el primer paréntesis colocamos 2 número que multiplicado me de 6 y nos de 5 y así tenemos factorizado el ejercicio.

 

Caso 7 - Trinomio de la forma ax²+bx+c

 

Este trinomio se diferencia del trinomio cuadrado perfecto en que el primer término puede tener coeficiente diferente de 1.
Se procede de la siguiente forma:
Se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del primer término, de esta forma se convierte en un trinomio de la forma:

x²+bx+c

y se divide por el mismo coeficiente. Se factoriza el trinomio en la parte superior del fraccionario y se simplifica con el número que esta como denominador.

 

Explicación:

Lo primero que realizamos es sacar el factor común multiplicando el primer término por el tercer término y nos que 20.

Luego procedemos a realizar el trinomio en donde tenemos que buscar que un número multiplicado nos de 20 y sumado nos de 9.

A continuación procedemos a realizar  la simplificación respectiva.

Después de haber realizado la simplificación obtenemos la respuesta que es        

                      

Caso 8 - Cubo perfecto de binomios

Podemos asegurar que una expresión algebraica es un cubo perfecto si cumple las siguientes condiciones:

Posee cuatro términos
° El primer y cuarto término son cubos perfectos (tienen raíces cúbicas exactas).
° El segundo término sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término.
° El tercer término sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del último término -multiplicado por la raíz cúbica del primer término.
° Los signos son todos más o también podría ser positivo el primero y el tercero y negativo el segundo y el cuarto.

Para factorizar un cubo perfecto se forma un binomio y se eleva al cubo, el primer término del binomio es la raíz cúbica del primer término y el segundo término es la raíz cúbica del último término. El signo del segundo término es más si todos los signos del cubo son más y es menos si los signos del segundo y cuarto término del cubo son menos.

 

                             

Explicación:

Los primero que realizamos en este caso de factorización es sacar la raíz cubica del primer término que es 2x y la raíz cubica del cuarto termino que es 3y.

Luego procedemos a verificar  si la factorización es correcta y lo que tenemos que realizar es multiplicar el triple producto por el primer término elevado al cuadrado por el cuarto termino que nos queda .

Después volvemos a realizar lo mismo en este paso multiplicando el  triple producto por el primer término y por el cuarto término elevado al cuadrado y nos queda .

Luego de haber realizado estos pasos nos damos cuenta que si es un cubo perfecto de binomios obteniendo   como resultado   

Caso 9 - Suma o diferencia de cubos perfectos

Su nombre lo indica, se reconoce por ser la suma o la resta de dos cubos. Su solución será dos factores, el primero de ellos es un binomio formado por las dos raíces cúbicas de los términos dados, el segundo factor está formado por tres términos así: la primera raíz al cuadrado, la primera raíz por la segunda y la segunda raíz al cuadrado.

Ejercicio:

a3	+	b3	=	(a + b)(a2 - ab + b2)
a		b

Explicación:  

Procedimiento para factorizar

1)	Se extrae la raíz cúbica de cada término del binomio.
2)	Se forma un producto de dos factores.
3)	Los factores binomios son la suma de las raíces cúbicas de los términos del binomio.
4)	Los factores trinomios se determinan así:
	El cuadrado de la primera raíz menos el producto de estas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

Caso 10 - Suma o diferencia de dos potencias iguales

Ejercicio:

FACTORIZAR: (m5 + n5) / (m +n )

SOLUCIÓN:

(m5 + n5) / (m + n ) = m4 – m3 n + m2 n2 - m n3 + n4

(m5 + n5) = (m + n ) . (m4 – m3 n + m2 n2 - m n3 + n4)